Ono što znamo samo je kap, a ono što ne znamo jest ocean.
Isaac Newton
U prostranom matematičkom svemiru sve se okreće oko formula. U svakodnevnom se životu čak i nesvjesno susrećemo s matematikom. Poznate jednadžbe zauzimaju središnje mjesto u matematičkim teoremima od antičkih vremena pa sve do skorašnjih otkrića 20. stoljeća. Svaka nova matematička jednadžba donosi i velik broj pitanja i odgovora.
U nastavku teksta donosimo antologiju matematičkih jednadžbi koje su promijenile naš pogled na svijet.
Pitagorin poučak
Ovaj poučak, iz 530. godine pr. n. e., vjerojatno je jedna od najpoznatijih matematičkih jednadžbi.
Ovo je njezina formula:
c² = a² + b²
Pitagorin poučak jedan je od temelja moderne matematike i znatno je pridonio razvoju matematike kao discipline. Čak i nakon mnogo godina, formula ovog poučka ostaje u našem sjećanju.
Pitagorin poučak glasi:
U pravokutnom trokutu površina kvadrata nad hipotenuzom jednaka je zbroju površina kvadrata nad njegovim katetama.
Zahvaljujući Pitagorinu poučku i njegovoj poznatoj jednadžbi, s lakoćom možemo računati duljine i kutove te određivati je li trokut pravokutni ili neke druge vrste. Ta je jednadžba samo jedan od primjera kako je matematika neizostavan dio naših života, bili mi toga svjesni ili ne.
Pitagorin poučak i dalje se često koristi u praktičnim područjima kao što su, među ostalima, građevina, arhitektura i stolarstvo.
Opći zakon gravitacije
Opći (Newtonov) zakon gravitacije govori da dva tijela u prostoru privlače jedno drugo silom koja ovisi o njihovim masama i međusobnoj udaljenosti.
Ta je sila izravno razmjerna masama tijela i obrnuto razmjerna kvadratu udaljenosti između ta dva dijela.
Naprimjer, Zemlja privlači Mjesec i obrnuto.
Isti se zakon primjenjuje i između jabuke i Zemlje te privlačne sile između planeta i Sunca: opći zakon gravitacije.
Taj zakon i jednadžbu, koja se smatra jednom od najprepoznatljivijih jednadžbi, odredio je Isaac Newton. Stvorio ju je u 17. stoljeću.
Formula općeg zakona gravitacije glasi:
F = G(m1m2)/R2
gdje je
- F: gravitacijska sila (N: njutn)
- m1: masa prvog tijela (obično planet, kg)
- m2: masa drugog tijela (kg)
- R: udaljenost između tijela
- G: opća gravitacijska konstanta (6,67428 × 10−11 N m2 kg−2)
Čista je matematika, na svoj način, poezija logičkih ideja.
Albert Einstein
Teorija relativnosti
Želja za odgovorima dijelom je ljudske prirode pa stoga ne čudi kako u današnje vrijeme raste svjesnost o važnosti matematike. Tome su zasigurno doprinijele i revolucionarne matematičke formule poput Einsteinove teorije relativnosti.
Formula teorije relativnosti bez sumnje je jedna od najpoznatijih matematičkih jednadžbi. Ali ipak, nitko je u potpunosti ne razumije.
Teoriju relativnosti razvio je Albert Einstein, koji je pokrenuo revoluciju u znanstvenom razumijevanju prirode prostora i vremena.
Formula teorije relativnosti glasi:
E =m⋅c2
No, što ta formula znači?
Prvo je važno naglasiti kako je masa bilo kojeg tijela neki oblik energije. U toj formuli masa (m) tijela može biti pretvorena u energiju (E) i obrnuto. Kvadrat brzine svjetlosti (c) u formuli ukazuje na to da čak i mala količina mase može biti pretvorena u veliku količinu energije.
Ta formula i dalje je jedna od najvažnijih jer dokazuje kako tvari mogu biti pretvorene u energiju i obrnuto.
Površina kruga
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od središta manja ili jednaka duljini polumjera kruga. Jednostavnije rečeno, krug je zatvorena linija koja se može usporediti s prstenom ili kotačem.
Formula površine kruga jest:
P = r2 π
gdje je
- P (ili A): površina kruga.
- π: konstanta (3.14)
- r: polumjer (radijus) kružnice
U praktičnim je oblicima primjene u svakodnevnom životu, poput izrade ili bojanja okruglog stola, ili u fizici, formula površine kruga neizostavna.
Zahvaljujući površini kruga, znanstvenici su u mogućnosti posvetiti se istraživanju fenomena valova, elektromagnetnih polja, leća ili čak distribucije svjetla.
Teorija kaosa
Matematičke teorije nisu znanje samo po sebi, već su služile i kao temelj za otkrivanje i razvijanje drugih koncepata.
Teorija kaosa jest znanost neočekivanog, nelinearnog i nepredvidivog. Pripada popisu najpoznatijih matematičkih teorija.
Ta teorija bavi se nelinearnim fenomenima koje je gotovo nemoguće predvidjeti ili kontrolirati, kao što su turbulencije, vrijeme, burza, stanje mozga i mnogi drugi. Takvi se fenomeni obično opisuju fraktalnom matematikom koja odražava beskonačnu kompleksnost prirode.
Teorija kaosa obuhvaća i, npr., leptirov učinak (butterfly effect). On se obično ilustrira primjerom u kojem pokreti krila leptira u Australiji mogu uzrokovati uragan u Čileu. Zvuči kao fantazija, zar ne? Ipak, teorija kaosa dopušta mogućnost postojanja takvog učinka. Točnije, leptirov učinak znači da male promjene u prvotnim uvjetima mogu dovesti do drastičnih promjena u ishodima.
Naši su životi vjerni prikazi tog principa. S obzirom na to da nikad ne znamo sve inicijalne uvjete kompleksnog sustava, ne možemo niti predvidjeti njegov ishod. To bi moglo biti u potpunoj suprotnosti s tvojom idejom matematike u pokeru i igrama na sreću jer čak i najmanja pogreška u računanju može dovesti do znatnog mijenjanja stanja sustava, pa je samim time svako predviđanje beskorisno.
Eulerov identitet
Eulerov identitet iskazan je na sljedećom formulom:
eiπ = −1
Mnogi je matematičari cijene jer povezuje pet važnih matematičkih konstanti:
- e: bazu prirodnih logaritama
- i: imaginarnu jedinicu
- π: konstanta (3.14)
- 1 i 0: cijele brojeve
Zahvaljujući svojoj jednostavnosti, ova formula široko je primjenjiva u inženjerstvu, teoriji brojeva i kompleksnim funkcijama.
Drugi zakon termodinamike
Dok prvi zakon termalne dinamike govori da se energija može transformirati među fizičkim sustavima poput topline i rada, drugi nas zakon upoznaje s još jednim oblikom kvantitete, entropije.
To je princip promjene i evolucije jer određuje u kojem se smjeru mogu odviti transformacije potencijalne energije.
Stoga su neke kemijske transformacije moguće, dok neke nisu. Sa sigurnošću se može reći, npr., da ako staviš kockicu leda u vruću kavu, led će se otopiti, a kava se nikad neće zalediti.
Drugi zakon termodinamike fizički je princip koji nameće ograničenje na smjer procesa prijenosa topline između dva tijela. Razvijen je generalizacijom eksperimentalnih činjenica, a također je i eksperimentalno potvrđen.
Jednostavnije rečeno, ovaj zakon govori da je nemoguće da proces ima, kao svoj jedini rezultat, prijelaz topline s hladnijeg tijela na toplije.
Iako je tijekom vremena više znanstvenika pridonosilo razvoju tog zakona, njegovo je priznanje u svijetu znanosti dosegnuto 1873. zahvaljujući Ludwigu Boltzmannu i Maxu Plancku. Tim je zakonom uveden i koncept entropije koja određuje smjer prijenosa energije.
Schrödingerova jednadžba
Schrödingerova jednadžba jedna je od najpoznatijih formula u matematici. Ne, sada nije riječ o mački; govorimo o jednoj drugoj Schrödingerovoj genijalnoj ideji za koju je osvojio Nobelovu nagradu na području fizike.
Formula glasi: ∇2ψ+8π2 m(E – U)ψ/h 2=0, odnosno Hψ=Eψ.
Schrödingerova jednadžba ključna je za razumijevanje kako se čestice mijenjaju tijekom vremena. Pomaže nam u opisivanju različitih stanja u kojima se čestica može nalaziti.
Osim njezine tehničke važnosti, ta formula dovodi i do fascinantnog filozofskog pitanja: jesu li tvari utemeljene na konkretnim fizičkim stanjima, poput krutih tvari, tekućina i plinova, ili tu postoji nešto više? Drugim riječima, tjera nas da promišljamo o prirodi tvari i načinu kako ih percipiramo. Takav je tip matematičkih enigmi vrlo čest, a sljedeća jednadžba predstavlja most do odgovora koji će jednom biti pronađeni.
Schrödingerova jednadžba bila je vrlo korisna u razvoju nuklearne energije, kao i za računarstvo i primjenu lasera.
Zahvaljujući ovoj jednadžbi omogućeno nam je lakše opisivanje ponašanja subatomskih čestica. Ona objašnjava promjene čestice s obzirom na vrijeme.
Ova jednadžba dovodi i do pitanja jesu li tvari izgrađene od mogućih agregatnih stanja (krutih, tekućih, plinovitih).
Maxwellove jednadžbe
Četiri Maxwellove jednažbe dijelom su najvažnijih temelja moderne fizike. Te su jednadžbe vrlo značajne za elektrodinamiku i teoriju relativnosti.
Slijedi prikaz Maxwellovih jednadžbi:
∇ ⋅ E = ρ/ε0
∇ ⋅ B = 0
∇ × E = − ∂B/∂t
∇ × B = μ0ε0 ∂E/∂t + μ0J
Otkriće Maxwellovih jednadžbi smatra se vrhuncem klasične fizike jer se iz njih mogu izvesti sve jednadžbe elektromagnetizma. Maxwellove jednadžbe opisuju međuodnos između električnih i magnetskih polja te njihovu vezu s električnim poljima i električnog naboja. I električna i magnetska polja mogu se opisati koristeći linijske dijagrame polja. Te su jednadžbe zasigurno imale snažan utjecaj na važnost matematike u modernom svijetu.
Grafički govoreći, oba predstavljaju vršenje sile nad nabojem. To znači da su električna i magnetska polja povezana. U interakciji su i mogu biti modificirana.
Svedimo sve na zajednički nazivnik
Jednadžbe o kojima je bilo riječi u prethodnom tekstu znatno su pridonijele matematici. Naravno, postoji još niz zanimljivih jednadžbi - možda će te oduševiti i Navier-Stokesove jednadžbe ili pak Riemannova hipoteza.
Sve jednadžbe u ovom članku imaju nešto zajedničko: jednostavne su (u smislu elegantnosti), jasne i pomažu u povezivanju temelja matematike s jednostavnijim konceptima. Svaka od tih jednadžbi ima široku i temeljitu primjenu u svakodnevnom životu i raznim znanstvenim disciplinama, zbog čega i jesu toliko vrijedne. Iako se matematika ponekad može činiti kompliciranom, ona je i dalje fascinantna. Okušaj se i u nekim zanimljivim matematičkim mozgalicama.
Jezik matematike jest univerzalan. Nije bitno govoriš li engleski, francuski ili hrvatski. Ako razumiješ jezik matematike, i drugi će tebe razumjeti, kojim god jezikom da se služe. Jezik je stvoren s ciljem otkrivanja svemira oko nas koristeći se jednim jezikom, jezikom matematike.
Svidio vam se ovaj članak? Zapiši to!
Loading...
